Leibniz, Newton e o Cálculo Infinitesimal

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Gottfried Wilhelm Leibniz                           Isaac Newton


Rápida idéia do Cálculo Diferencial de Leibniz

Seu Cálculo não era baseado na noção de taxa ( derivada ) mas na de diferencial. Em essência:

  • procurava interpretar a taxa dy/dx como o quociente de duas quantidades infinitesimais, dy e dx, que chamava de diferenciais
  • deu regras para calcular facilmente dy:
    • y = u + v -> dy = du + dv
    • y = uv -> dy = u dv + v du
    • etc

Rápida idéia do Cálculo Integral de Newton

Seu Cálculo Integral era chamado de Cálculo de Fluentes.
Inspirado por Napier e Cavalieri, fundamentou suas idéias em duas noções básicas: a de fluente e a de fluxão . Em suas próprias palavras:

Vejo as grandezas não como formadas de partes infinitamente pequenas mas como descritas por movimento contínuo:
linhas ( descritas pelo movimento contínuo de pontos ), superfícies (descritas pelo movimento contínuo de linhas), ângulos ( descritos pelo movimento contínuo rotacional de seus lados ) e o tempo por um fluxo contínuo.
O que determina o valor de uma grandeza é a velocidade de seu crescimento

Em termos mais objetivos: os fluentes eram as grandezas geradas e as fluxões as velocidades de movimento dessas grandezas. Ou seja: o fluente corresponde a integral e a fluxão a derivada.

Para Newton, o Cálculo tinha dois problemas básicos:

  • problema das fluxões
    dada relação entre fluentes: f(x,y)=0, achar a relação y’/x’ entre as respectivas fluxões
  • problema dos fluentes
    dada relações entre fluxões, como F(x’, y’, x ,y ) = 0, achar os fluentes.
    Note que um exemplo é a relação y’/x’ = f(x) que corresponde a resolver a equação dy/dx = f(x) ( ie corresponde a um problema de primitivação ). Um outro exemplo é a relação y’/x’ = f(x,y) que corresponde a resolver a equação diferencial dy/dx = f(x,y).

A técnica que Newton emprega para resolver esses problemas é a do desenvolvimento em séries de potências.

Vejamos como Newton interpretava os resultados de Barrow, ie como via o que nós hoje chamamos de Teorema ( ou Teoremas ) Fundamental do Cálculo Integral:

  • a fluxão de uma área variável é a ordenada que a gera
  • o fluente de uma ordenada variável é a área gerada pela ordenada em seu movimento

Consequentemente, para fazer a quadratura de uma área de ordenadas dadas por y = y(x), basta achar a primitiva Y de y ,ie achar Y tal que a fluxão de Y seja y. Em notação moderna: achar Y tal que dY/dx = y.

exemplo
Para achar a primitiva Y de y = 1/(x+1) ele, como sempre fazia, usa séries:
escrevendo:

Y = a xm + b xm+1 +…

temos:

Y’ = m a xm-1 + (m + 1) b xm + …

e daí como

1/(x+1)= 1 – x + x2 – x3 + …

obtemos, desde a igualdade Y’ = 1/(x+1), que a=1, b= -1/2, etc.
Ou seja, obtemos

Y = x – x2/2 + x3 /3 + … = ln ( 1 + x ).

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