Origem da fórmula de Sridhara (Bhaskara)

 

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Mostro na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.

O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

Seja a equação:

a x² + b x + c = 0

com “a” não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:

x² + (b/a) x + c/a = 0

Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:

x² + (b/a) x = -c/a

Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:

x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:

[x+(b/2a)]2 = (b² – 4ac) / 4a²

Notação: Usaremos a notação R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representará a raiz quadrada de 5. Esta notação está sendo introduzida aqui para fazer com que a página seja carregada mais rapidamente, pois a linguagem HTML ainda não permite apresentar notações matemáticas na Internet de uma forma fácil.

Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:

x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]

ou

x + (b/2a) = – R[(b²-4ac) / 4a²]

que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:

contendo um sinal ± que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal ± não tem qualquer significado em Matemática.

Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:

x’ = -b/2a + R[b²-4ac] /2a

ou

x” = -b/2a – R[b²-4ac] /2a

A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:

onde D (às vezes usamos a letra maiúscula “delta” do alfabeto grego) é o discriminante da equação do segundo grau, definido por:

D = b² – 4ac

 

Gostaram? Esperem só a té a gente chegar no caso Leibniz x Newton ! 

EQ do segundo grau/Função quadrática –

Vamos resolver equações do segundo grau, não vou me limitar apenas a matemática mais elementar, equação do segundo grau representa uma função quadrática (se igualada a zero) e assim vou tratar ela em algumas vezes. Aprender métodos mais simples, treinar outras ferramentas da matemática, sabendo várias maneiras de se resolver uma equação nunca nos leva a um labirinto, dessa forma seremos capazes de resolver qualquer equação do segundo grau, independente do enunciado.

Um exercício simples e bem legal:

O número -3 é a raíz da equação x2 – 7x – 2c = 0. Nessas condições, determine o valor do coeficiente c: 

Ao contrário da grande maioria dos enunciados, esse não nos pede as raízes da equação mas sim o valor do coeficiente C. Tendo em mente que numa equação x² + bx + c o coeficiente c é o valor “onde a parábola corta o eixo das ordenadas, o eixo y”, também é necessário lembrar que as raízes são os dois pontos (x²) onde a parábola vai cortar o eixo das abcissas, o eixo x do plano cartesiano, o exercício nos deu um desses pontos (-3).

(-3)² – 7*(-3) – 2c = 0

9 +21 – 2c = 0

30 = 2c

c = 15

A equação fica dessa forma: x² -7x – 30 = 0
com a = 1; b = -7 e c = -30

S = -b/a    P = c/a
S = 7        P = -30
-3 + 10 = 7
-3 * 10 = -30       usando a Soma e Produto das raízes, método que vou explicar na próxima postagem, chegamos a outra raiz dessa equação que é 10

Lei dos gases – Exercício resolvido e comentado

O volume molar do etano, sob pressão de 14,6 bar e na temperatura de 8 oC, vale 1,33 litro.
Qual será o volume molar do acetileno quando apresentar o mesmo desvio da idealidade? Usar o método do fator de compressibilidade.

Resp.: 1,07 L/mol.

Explico:

Vamos começar a resolução deste exercício pela determinação do número de moles de dióxido de carbono, contido no volume inicial de 10 litros. Pode esta determinação ser feita mediante a equação de estado em termos do fator de compressibilidade:
n = pV/zRT, em que a única incógnita do segundo membro, o fator z, se determina pelas variáveis reduzidas do gás, Tr = T/Tc = 333/304,2 = 1,095, pr = p/pc = 50/73,5 = 0,680. A tabela do fator de compressibilidade (após interpolações) fornece o seguinte valor para z: z = 0,806, de que resulta o valor de n: n = 50 x 10^5 x 10 x 10^-3/0,806 x 8,31 x 333 = 22,4 moles.
Após a abertura da válvula o gás atinge novo estado de equilíbrio, condicionado pela igualdade de pressão entre os dois recipientes e pela constância de temperatura; a massa do gás tem seu volume duplicado (20 litros) e sua temperatura mantém-se igual a 60 oC. Olha só que legaal, a pressão a que se submete o gás pode ser determinada pela relação que se obtém entre pr e z, mediante a equação de estado: pr/z = nRT/pcV = 22,4 x 8,31 x 333/73,5 x 10^5 x 20 x 10^-3 = 0,422, e pelo valor da temperatura reduzida: Tr = 1,095. Agora, consultando-se a tabela do fator de compressibilidade na temperatura reduzida de 1,095, encontra-se, interpolando-se, a seguinte pressão reduzida, que satisfaz a razão pr/z = 0,422:  pr = 0,382. Para a pressão final de equilíbrio vem o seguinte valor: p = pr pc = 0,382 x 73,5 = 28,1 bar.

Lei dos gases é um assunto que dura do médio a graduação, mas os exercícios podem ser resolvidos apenas tendo atenção e sabendo utilizar as equações corretas.

Equação de Clapeyron e exercício resolvido

Clapeyron, Benoit-Paul-Emile (1799-1864)                                                                                 download

Físico e engenheiro civil francês, Benoit-Pierre-Émile CLAPEYRON nasceu em Paris, no dia 26 de Fevereiro de 1799, falecendo a 28 de Janeiro de 1864. Frequentou a École Polytechnique de Paris onde ingressou em1816. Dois anos mais tarde assumiu um cargo de Engenheiro de Minas na École de Mines onde também lecionava.

Durante 1820 foi para Rússia junto com seu amigo e também colega de classe Gabriel Lamé. Ambos davam aula de matemática pura e aplicada na École des Travaux Publics em São Petesburgo. Esta escola tinha tido grande impulso desde 1809 quando o Imperador Alexandre I criou um corpo de engenheiros responsável pelo estudo de estradas, pontes e armas. O Imperador requisitou alguns engenheiros do governo francês que já possuíam algum know how sobre tais assuntos.

No período de permanência na Rússia publicou inúmeros artigos em parceria com Gabriel Lamé. Eram publicados principalmente no Journal des voies de communication de Saint-Pétersbourg, no Journal du génie civil e no Bulletin Ferussac.

Ambos foram forçados a deixar o país logo depois da Revolução de 1830 uma vez que suas posições conhecidamente liberais não eram muito compatíveis com a Revolução.

CLAPEYRON e Lamé entraram no negócio de construção de estradas de ferro bem cedo (1823). Em 1833 foi liberada uma grande verba de 500000 francos para um estudo dos vários problemas que eram encontrados na construção de estradas de ferro. Isso incluiu até mesmo um intercâmbio entre engenheiros americanos e ingleses. CLAPEYRON então concebeu a idéia da estrada que liga Paris a St. Germain, mas enquanto esperava pela verba foi lecionar em St. Étienne na École de Mineurs. Em 1835 quando a verba foi liberada CLAPEYRON e Lamé foram colocados como responsáveis pela direção da obra.

Também se especializou no desenvolvimento de locomotivas a vapor. Em 1836 viajou à Inglaterra para encomendar as locomotivas que iam operar na difícil e longa (para a época) viagem entre Paris e St. Germain. Quando a direção do projeto passou para o ilustre Robert Stephenson, as locomotivas foram fabricadas ainda baseadas no projeto de CLAPEYRON.

Foi eleito para a Académie des Sciences de Paris em 1848 ocupando o lugar que fora de Cauchy e participou de inúmeros comitês da academia incluindo o comitê do prêmio de mecânica e o comitê que estudava as propostas para a construção do canal de Suez.

CLAPEYRON continuou sempre investigando os fenômenos que se relacionavam com as máquinas a vapor. Até mesmo seu melhor trabalho não é o mais reconhecido, onde escreveu sobre as possíveis regulagens de válvulas para uma máquina a vapor. De 1844 em diante, CLAPEYRON lecionou na École des Ponts et Chaussés, onde dava um curso sobre máquinas a vapor.

Principais contribuições para a Termodinâmica

Notabilizou-se também particularmente por sua valiosa contribuição para o progresso da Termodinâmica. Coube-lhe o mérito de haver estabelecido e demonstrado de forma clara e rigorosa, a equação dos gases perfeitos e as fórmulas de correlação entre volume (V) de um gás, a temperatura (T) , a pressão (P), o calor latente de compressão (c), o de dilatação (d), e o de vaporização (v), que interferem no equilíbrio técnico do sistema.

A expressão PV = nRT, em que P,V e T indicam respectivamente a pressão, o volume e a temperatura absoluta de certa massa de gás ideal, R representa a constante dos gases perfeitos (R=8,314 kJ/kmol K) e n o número de moles, é usualmente designada como equação de CLAPEYRON.

O estudo de CLAPEYRON era uma aplicação do princípio de Sadi Carnot desenvolvido por Carnot no ensaio Réflexions sur la puissance motrice du feu (1824). Até o estudo de CLAPEYRON o trabalho de Carnot foi quase completamente ignorado pela comunidade científica. Quando foi publicado o estudo de CLAPEYRON, ele transformou a análise verbal feita por Carnot em um simbolismo de cálculo aceito pelos cientistas que proporcionou uma maior aceitação da teoria de Carnot.

Exercício reslovido utilizando a Equação de Clapeyron

 

Trezentos gramas de metano estão confinados em um reservatório de trezentos litros de capacidade. Mediante a abertura de uma válvula o gás escapa para a atmosfera até sua pressão igualar-se à pressão externa. Determinar: a) a pressão inicial do metano; b) a massa de metano que ao final restará no reservatório. Admitir a temperatura constante e igual a 38º C. Tomar a pressão atmosférica igual a 1,01 bar.

Resp.: a) 1,61 bar; b) 188 g.
Explico:

Os cálculos serão realizados imaginando-se o metano como gás ideal. Desse modo, a equação a ser usada é a seguinte: pV = nRT.
No início, com as 300 g de metano contidas no reservatório, os parâmetros desta equação têm os seguintes valores: V = 300 litros = 0,300 m³ ; T = 311 K; R = 8,31 J/mol.K e n = m/M = 300/16,04 = 18,70 moles.
Assim, obtém-se para a pressão inicial do metano:
p = nRT/V = 18,70×8,31×311/0,300 = 1,61×105 Pa = 1,61 bar.
Após a abertura da válvula e o gás escapar para atmosfera, a pressão no interior do reservatório reduzir-se-á a 1,01 bar (1,01×105 Pa) e o número de moles de metano ainda presente no reservatório poderá ser calculado por:
n = pV/RT = 1,01x105x0,300/8,31×311 = 11,72 moles,
a que corresponderá a seguinte massa:
m = nM = 11,72×16,04 = 188 g.
Escapam, portanto, para atmosfera 300 – 188 = 112 g de metano.
Observação: Devido aos valores moderados da pressão (em torno de 1 bar ou quase 1 atm) no início e no fim, é pertinente a suposição que se fez de comportamento de gás ideal para o metano.

Após ter lido a postagem é fácil reconhecer o uso da Equação de Clapyron pV=nRT, no desenvolvimento da questão.

Arco-Íris duplo

Entrei na graduação em Meteorologia na UFPEL em 2011, acabei desistindo, na minha primeira semana de aula aconteceu um fenômeno óptico e meteorológico em Pelotas, simplesmente acordei e no céu haviam 4 arco-íris e dois Sóis. Hoje aconteceu um arco-íris duplo, essa ocorrência é devido a uma dupla reflexão da luz do sol nas gotas de chuva, e aparece em um ângulo de 50°–53°. Devido à reflexão extra, as cores do arco são invertidas quando comparadas com o arco-íris principal, com o azul no lado externo e o vermelho no interno. A região entre o arco-íris primário e secundário é denominada banda de Alexandre. Observa-se que essa faixa é mais escura que o resto do céu, por não ter qualquer reflexão de luz.

imagem: C.R

imagem: C.R

Leibniz, Newton e o Cálculo Infinitesimal

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Gottfried Wilhelm Leibniz                           Isaac Newton


Rápida idéia do Cálculo Diferencial de Leibniz

Seu Cálculo não era baseado na noção de taxa ( derivada ) mas na de diferencial. Em essência:

  • procurava interpretar a taxa dy/dx como o quociente de duas quantidades infinitesimais, dy e dx, que chamava de diferenciais
  • deu regras para calcular facilmente dy:
    • y = u + v -> dy = du + dv
    • y = uv -> dy = u dv + v du
    • etc

Rápida idéia do Cálculo Integral de Newton

Seu Cálculo Integral era chamado de Cálculo de Fluentes.
Inspirado por Napier e Cavalieri, fundamentou suas idéias em duas noções básicas: a de fluente e a de fluxão . Em suas próprias palavras:

Vejo as grandezas não como formadas de partes infinitamente pequenas mas como descritas por movimento contínuo:
linhas ( descritas pelo movimento contínuo de pontos ), superfícies (descritas pelo movimento contínuo de linhas), ângulos ( descritos pelo movimento contínuo rotacional de seus lados ) e o tempo por um fluxo contínuo.
O que determina o valor de uma grandeza é a velocidade de seu crescimento

Em termos mais objetivos: os fluentes eram as grandezas geradas e as fluxões as velocidades de movimento dessas grandezas. Ou seja: o fluente corresponde a integral e a fluxão a derivada.

Para Newton, o Cálculo tinha dois problemas básicos:

  • problema das fluxões
    dada relação entre fluentes: f(x,y)=0, achar a relação y’/x’ entre as respectivas fluxões
  • problema dos fluentes
    dada relações entre fluxões, como F(x’, y’, x ,y ) = 0, achar os fluentes.
    Note que um exemplo é a relação y’/x’ = f(x) que corresponde a resolver a equação dy/dx = f(x) ( ie corresponde a um problema de primitivação ). Um outro exemplo é a relação y’/x’ = f(x,y) que corresponde a resolver a equação diferencial dy/dx = f(x,y).

A técnica que Newton emprega para resolver esses problemas é a do desenvolvimento em séries de potências.

Vejamos como Newton interpretava os resultados de Barrow, ie como via o que nós hoje chamamos de Teorema ( ou Teoremas ) Fundamental do Cálculo Integral:

  • a fluxão de uma área variável é a ordenada que a gera
  • o fluente de uma ordenada variável é a área gerada pela ordenada em seu movimento

Consequentemente, para fazer a quadratura de uma área de ordenadas dadas por y = y(x), basta achar a primitiva Y de y ,ie achar Y tal que a fluxão de Y seja y. Em notação moderna: achar Y tal que dY/dx = y.

exemplo
Para achar a primitiva Y de y = 1/(x+1) ele, como sempre fazia, usa séries:
escrevendo:

Y = a xm + b xm+1 +…

temos:

Y’ = m a xm-1 + (m + 1) b xm + …

e daí como

1/(x+1)= 1 – x + x2 – x3 + …

obtemos, desde a igualdade Y’ = 1/(x+1), que a=1, b= -1/2, etc.
Ou seja, obtemos

Y = x – x2/2 + x3 /3 + … = ln ( 1 + x ).